गुणोत्तर आणि प्रमाण

 

⊍ गुणोत्तर आणि प्रमाण

गुणोत्तर आणि प्रमाण हे अपूर्णांक आहेत. जेव्हा अपूर्णांक a:b च्या स्वरूपात दर्शविला जातो, तेव्हा तो एक गुणोत्तर असतो आणि प्रमाण सांगते की दोन गुणोत्तरे समान आहेत. a आणि b हे कोणतेही दोन पूर्णांक आहेत. गुणोत्तर आणि प्रमाण या दोन महत्त्वाच्या संकल्पना आहेत आणि गणितातील विविध संकल्पना समजून घेण्यासाठी हा पाया आहे. आपण या लेखात गुणोत्तर व प्रमाण याविषयी सविस्तर माहिती पहाणार आहोत.

हे नक्की पहा :गणित महत्वाची सूत्रे

⊍ गुणोत्तर म्हणजे काय?

गुणोत्तर हे a:b सारख्या दोन प्रमाणांमधील संबंध म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते, जेथे b, 0 च्या बरोबरीचे नाही. गुणोत्तरातील दोन संख्यांची तुलना फक्त तेव्हाच केली जाऊ शकते जेव्हा त्यांचे एकक समान असते. गुणोत्तरांचा वापर दोन गोष्टींची तुलना करण्यासाठी केला जातो. गुणोत्तर या चिन्हाने दर्शविले जाते. गुणोत्तर खालीलप्रमाणे दर्शवता येते.

1】 a to b

2】 a:b

3】 a/b

उदा. 4 ते 8 चे गुणोत्तर 4:8 = 1:2 असे दर्शवले जाते.

⊍ प्रमाण म्हणजे काय?

प्रमाण हे एक समीकरण आहे जे परिभाषित करते की दोन दिलेले गुणोत्तर एकमेकांशी समतुल्य आहेत. प्रमाणानुसार, दिलेल्या संख्यांचे दोन संच समान गुणोत्तरामध्ये वाढत किंवा कमी होत असल्यास, गुणोत्तर एकमेकांशी थेट प्रमाणात असल्याचे म्हटले जाते. प्रमाणाचे 3 प्रकार आहेत ते म्हणजे....

1】 थेट प्रमाण

2】 व्यस्त प्रमाण

3】 परंपरित प्रमाण

⊍ गुणोत्तर आणि प्रमाण सूत्र

a:b:: c:d

मध्य पदांचा गुणाकार = टोकावरील पदांचा गुणाकार

axd = bxc

1】 चौथा प्रमाण

a: b :: c: x

X → चौथा प्रमाण

x=(bxc)/a

उदा. 4, 10 आणि 12 संख्यांचे चौथे प्रमाण शोधा.

चौथा प्रमाण

=(12×10)/4 = 30

2】 तिसरा प्रमाण →

a: b :: b: x

x तिसरा प्रमाण

x = b²/a चे तिसरे प्रमाण

संख्या 4, 12 चे तिसरे प्रमाण शोधा.

तिसरा प्रमाण

=(12×12)/4

= 36

3】 मध्यम प्रमाण पद 【सरासरी प्रमाण】

a:x:x:b

x - सरासरी प्रमाण

ab चे सरासरी प्रमाण = Vab ने दिले जाते

⊍ गुणोत्तर आणि प्रमाण उदाहरणे

4, 16 चे सरासरी प्रमाण 【मध्यम प्रमाण पद】 शोधा ?

सरासरी प्रमाण = √ (4×16)

=√64

= 8

• जर दोन संख्या a: b च्या गुणोत्तरात असतील आणि त्यांची बेरीज x असेल तर खालील प्रमाणे काढता येतील

ax/(a+b) आणि bx/(a+b)

• जर तीन संख्या a : b : c च्या गुणोत्तरात असतील आणि बेरीज x असेल तर संख्या खालील प्रमाणे काढता येतील,

ax/(a+b+c), bx/(a+b+c) आणि cx/(a+b+c)

• जर a : b = n₁: d₁ आणि b c = n₂: d₂

तर a : b : c = n₁x n₂: n₂x d₁: d₁ x d₂

उदा. A : B = 3: 5 आणि B: C = 9:10 असल्यास A: B : C शोधा. A:B=3:5

B:C9:10

A:B:C=3×9:9×5:5×10

= 27:45:50

• जर a : b = n₁: d₁, b: c = n₂: d₂,C: d = n₃: d₃:

a:b:c:d=n₁x n₂x n₃: d₁x n₂ x n₃: d₁ x d₂,x n₃: d₁ x d₂, x d₃

हे नक्की पहा :01 ते 30 वर्ग व घन

उदा. जर A : B = 2:3, B: C = 4:5, C: D = 6:7.A:B:C: D शोधा.

A:B:C:D=2×4×6:3×4×6:3×5×6 :3×5×7

= 48:72:90:105

= 16:24:30:35

• दोन संख्यांमधील गुणोत्तर a: b आणि x दोन्हीमध्ये जोडल्यास गुणोत्तर c : d होईल. तर संख्या आहेत,

ax(cd)/(ad-bc) आणि bx (cd)/(ad-bc)

उदा. जर दोन संख्या 3:4 च्या गुणोत्तरात असतील तर दोन्ही संख्यांमध्ये 8 जोडल्यास गुणोत्तर 5:6 होईल. संख्या शोधा.

पहिली संख्या

=(3×8 (5-6))/(3×8-5×4)

=(24 (-1))/(-2)=12

दुसरी संख्या

= (4×8 (5-6))/(3×6-5×4)

=(32×(-1))/((-2))=16

हे नक्की पहा :वर्ग आणि वर्गमूळ

• जर दोन संख्यांचे गुणोत्तर a: b असेल, तर c : d हे गुणोत्तर करण्यासाठी प्रत्येक संख्येमध्ये जी संख्या जोडली पाहिजे ती दिली जाते,

(ad-bc)/(cd)

उदा. 11: 20 च्या बरोबरीसाठी संख्यांमध्ये 11: 29 च्या प्रमाणात जोडली जाणारी संख्या शोधा?

संख्या = (ad - bc)/(c - d)

=(11×20-29×11)/(11-20)=11

• दोन व्यक्तींचे उत्पन्न →a: b या गुणोत्तरात आहे आणि त्यांचा खर्च → c : d या प्रमाणात आहे. जर प्रत्येक व्यक्तीची बचत S असेल तर त्यांचे उत्पन्न आहे.

aS(dc)/(ad-bc) आणि bs (dc)/(ad-bc) आणि त्यांचा खर्च द्वारे दिला जातो,

cS(ba)/(ad-bc) आणि dS (ba)/(ad-bc)

उदा. A आणि B चा वार्षिक पगार 5: 4 च्या प्रमाणात आहे आणि त्यांचा वार्षिक खर्च 4 : 3 च्या प्रमाणात आहे. जर त्यांच्यापैकी प्रत्येकाने रु. 800 वर्षाच्या शेवटी बचत केले तर त्यांचे उत्पन्न शोधा.

A चे उत्पन्न

=(5×500(3-4))/(15-16)b

= 2500 रु.

B चे उत्पन्न

=(4×500(3-4))/(15-16)=2000 रु.

हे नक्की पहा :घन व घनमूळ

वरील गुणोत्तर आणि प्रमाण या घटकावरील माहिती आपणास कशी वाटली तसेच काही चुका अथवा सुधारणा असतील तर कमेंट बॉक्स मध्ये नक्की कळवा?
वरील माहिती आपण पहा आणि आवडल्यास इतरांना ही नक्की Share करा.
धन्यवाद...!!